この記事では、実数a、bに対する関数f(x) = x^4 + 2ax^3 + (a^2 + 1)x^2 – a^3 + a + bがただ1つの極値を持ち、その極値が0以上になるための条件を求める方法について解説します。具体的な手順を追いながら、この関数に関連する極値問題を解決するアプローチを学びます。
関数の極値を求めるための第一歩
与えられた関数f(x) = x^4 + 2ax^3 + (a^2 + 1)x^2 – a^3 + a + bに対して、極値を求めるためにはまずその微分を求める必要があります。まず、f(x)の導関数f'(x)を求めます。具体的には、f'(x) = 4x^3 + 6ax^2 + 2(a^2 + 1)xとなります。この導関数を使って、極値の条件を探ります。
f'(x) = 0 を解く
次に、f'(x) = 0を解くことで、極値を持つxの値を求めます。すなわち、4x^3 + 6ax^2 + 2(a^2 + 1)x = 0を解きます。この方程式をxで因数分解することで、x = 0が解の一つであることがわかります。残りの因数を解くことで、極値の位置がわかります。
極値が0以上であるための条件
極値が0以上であるためには、x = 0でのf(x)の値を計算し、その値が0以上である必要があります。f(0) = -a^3 + a + bとなり、この式が0以上になるようなa、bの条件を求めます。つまり、-a^3 + a + b ≥ 0 となる条件を求めることで、a、bが満たすべき条件が導き出されます。
まとめ
関数f(x)の極値を求め、その極値が0以上であるためには、a、bが満たすべき条件は-a^3 + a + b ≥ 0であることがわかりました。この条件をもとに、具体的なa、bの値を探ることができます。極値問題を解く際には、まず微分を計算し、次にその結果を元に条件を導き出す方法を使うことが重要です。
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