中学数学でよく出題される問題の一つに、指定された数に最小の自然数をかけて、特定の数との公倍数を求める問題があります。今回の問題では、42にできるだけ小さい自然数をかけて、45と140の公倍数を求めるというものです。答えは30ですが、その理由を詳しく解説します。
公倍数の求め方
まず、公倍数を求める基本的な方法を確認しましょう。二つの数の公倍数は、その数の最小公倍数（LCM）を求めることで得られます。最小公倍数は、二つの数のそれぞれの倍数の中で、最も小さいものです。
最小公倍数を求める方法として、まずはそれぞれの数を素因数分解し、共通する素因数は最も多く出現する回数を選び、それ以外の素因数も取り入れて計算します。
42、45、140の最小公倍数を求める
まず、42、45、140の素因数分解を行います。
42 = 2 × 3 × 7
45 = 3² × 5
140 = 2² × 5 × 7
次に、これらの素因数を使って最小公倍数を求めます。LCMは、すべての素因数を取り入れて、最も多く出現する回数を選びます。
LCM(42, 45, 140) = 2² × 3² × 5 × 7 = 1260
42にかけるべき自然数の求め方
次に、42にかける最小の自然数を求めます。既に42はLCMの一部を構成していますが、LCMの中には42の倍数には含まれていない素因数（2の2乗、3の2乗、5など）もあります。
42 = 2 × 3 × 7 ですが、LCMに必要なのは2² × 3² × 5 × 7です。したがって、足りない要素を補う必要があります。必要な素因数は以下の通りです。
2が1回足りない → 2
3が1回足りない → 3
5が1回足りない → 5
これらを掛け合わせると、2 × 3 × 5 = 30 となります。よって、42にかける最小の自然数は30です。
結論
したがって、42に30を掛けることで、最小公倍数1260を得ることができ、これは45と140の公倍数です。このように、最小公倍数を求めることで、必要な自然数を導き出すことができました。
この問題の理解を深めるためには、素因数分解と最小公倍数を求める方法をしっかり理解することが重要です。
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