質問者が提起した問題は、指数関数を含む複雑な方程式における解の個数を求めるものです。本記事では、この問題を順を追って解説し、与えられた条件に基づく場合分けの方法について詳しく説明します。
1. 問題の整理と式の確認
問題は次の式に関するものです：f(x) = 9ˣ + 9⁻ˣ – 2a(3ˣ + 3⁻ˣ) + 3。ここで、t = 3ˣ + 3⁻ˣ とおき、相加相乗平均を利用してtを求め、その後にtとxの解の対応関係を見ていきます。まず、t = 3ˣ + 3⁻ˣ の性質を理解し、それがどのようにxの解に関連するのかを検討します。
2. 相加相乗平均とtの性質
t = 3ˣ + 3⁻ˣ の性質を理解するために、相加相乗平均の不等式を適用します。相加相乗平均不等式により、t ≧ 2√(3ˣ × 3⁻ˣ ) = 2 であり、等号が成立するのはx = 0のときです。この関係を元に、tの値がどのようにxの解に影響を与えるのかを調べます。
3. tとxの解の関係
tとxの解の対応関係は、tのグラフの形状に基づいています。t = 2のときにはxの解が1個、t > 2の場合にはxの解が2個となります。これは、tのグラフがt軸対称で、x→±∞で単調増加することに基づいています。
4. 解析の進行：f(t) の展開
与えられた式9ˣ + 9⁻ˣ = t² – 2に基づいて、f(t) = t² – 2 – 2at + 3 という式を導出します。この式のグラフがt ≧ 2で共有点を持つ条件について、直線分離を考慮します。f(t) = t² + 1とf(t) = 2atという2つの式を考え、aの値による場合分けを行います。
5. 解の個数とaの値による場合分け
問題の解法において、aの値により解の個数が異なることを考慮する必要があります。特に、④が（2, 5）を通るとき、a=5/4となり、a=2とならないことが示されています。この場合分けを慎重に行い、解の個数がどのように変化するのかを正確に求めます。
6. まとめと最終的な解答
最終的に、aの値による場合分けを正確に行い、解の個数を求めるためには、グラフの形状や直線の傾きの変化に注目することが重要です。問題の正解を導くためには、aの値が解の個数に与える影響をしっかりと確認し、場合分けを慎重に進める必要があります。
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