中学3年生の数学では、式の展開や和と差の積を扱うことが多くなります。特に、「和と差の積」と「式の展開」の違いを理解することが重要です。この記事では、これらを簡単に見分ける方法について解説します。
1. 和と差の積とは
「和と差の積」とは、2つの式の和と差を掛け合わせる形の式です。具体的には、(a + b)(a – b)のような形です。この式を展開すると、次のようになります。
(a + b)(a – b) = a^2 – b^2
このように、「和と差の積」は、展開すると「二乗の差」の形になります。式の特徴として、必ず2項の差の積が出てくる点が挙げられます。
2. 式の展開とは
「式の展開」とは、括弧を外す操作を行うことです。例えば、(x – 2)(x + 5)のような式は、展開することで次のような形になります。
(x – 2)(x + 5) = x^2 + 5x – 2x – 10 = x^2 + 3x – 10
こちらは「和と差の積」ではなく、ただの掛け算を展開した式です。
3. 和と差の積と式の展開の違い
和と差の積の場合、必ず2項の差が現れるのに対して、式の展開では異なる項の掛け算が展開されます。例えば、(3a + 4b)(3a – 4b)は「和と差の積」に該当し、展開すると次のようになります。
(3a + 4b)(3a – 4b) = (3a)^2 – (4b)^2 = 9a^2 – 16b^2
一方、(3x – 2)(3x + 5)は式の展開となり、次のように展開できます。
(3x – 2)(3x + 5) = 9x^2 + 15x – 6x – 10 = 9x^2 + 9x – 10
4. 見分け方のポイント
和と差の積と式の展開を見分けるためのポイントは、まず式が「2項の差」になっているかどうかを確認することです。もし、2つの項が「足し算」と「引き算」で組み合わさっていれば、それは和と差の積です。その場合、展開すると「二乗の差」の形になります。
一方で、単なる掛け算の展開であれば、項が2つ以上の掛け算であり、展開後に異なる項が残ります。
5. まとめ
和と差の積と式の展開を見分けるためには、式に含まれる項を確認し、2項の差があるかどうかをチェックすることが大切です。和と差の積は「二乗の差」として展開され、式の展開は掛け算の各項を展開していきます。理解を深めて、実践的に問題を解いていきましょう。
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