x^2 + (3y + 1)x + (y + 4)(2y − 3) の因数分解方法

因数分解は多くの数学の問題において重要なスキルです。特に、二次式を因数分解することで、より簡単に解くことができる場合があります。この記事では、x^2 + (3y + 1)x + (y + 4)(2y − 3) をどのように因数分解するかをステップバイステップで解説します。

因数分解の基本的な考え方

因数分解とは、多項式を積の形に分解することです。これにより、数式の計算が簡単になり、方程式の解法や解析が容易になります。特に、二次式の因数分解はよく出題されるテーマです。

二次式の因数分解には、一般的に「平方完成」や「因数分解公式」を使います。今回は、具体的な式を使って、この方法を実際に見ていきましょう。

式の整理：x^2 + (3y + 1)x + (y + 4)(2y − 3)

まず、与えられた式を整理しましょう。式は次の通りです。

x^2 + (3y + 1)x + (y + 4)(2y − 3)

まず、(y + 4)(2y − 3) を展開します。

(y + 4)(2y − 3) = y(2y − 3) + 4(2y − 3) = 2y^2 − 3y + 8y − 12 = 2y^2 + 5y − 12

これで、式は次のように整理されます。

x^2 + (3y + 1)x + 2y^2 + 5y − 12

次に、xの項を整理する

次に、この式の中でxに関する項を整理します。具体的には、x^2 + (3y + 1)x という部分です。

ここで重要なのは、(3y + 1)の部分です。この項はyに依存していますので、yの値に応じてxの項が変動します。この部分を整理することで、xとyに対する因数分解が進みます。

因数分解のステップ

次に、因数分解を進めるために、与えられた式を以下のように分解します。

x^2 + (3y + 1)x + 2y^2 + 5y − 12

これを因数分解すると、最終的には次のような形になります。

(x + y + 4)(x + 2y − 3)

このように、因数分解を行うことで元の式が積の形に分解されました。

因数分解の確認

因数分解が正しいかどうかを確認するために、もう一度展開してみましょう。

(x + y + 4)(x + 2y − 3) = x(x + 2y − 3) + (y + 4)(x + 2y − 3)

これを展開すると、元の式に一致することが確認できます。したがって、因数分解は正しいことがわかります。

まとめ

与えられた式 x^2 + (3y + 1)x + (y + 4)(2y − 3) の因数分解は、まず (y + 4)(2y − 3) を展開し、その後、式全体を整理して因数分解しました。最終的な結果は、(x + y + 4)(x + 2y − 3) という形になります。この方法を使うことで、複雑な式を簡単に因数分解することができます。