期待値と分散の性質について：確率変数の和と積の関係

確率変数の和や積に関する期待値の性質について質問されていますが、これを理解するためにはまず基本的な期待値や分散の性質を押さえておくことが重要です。ここでは、期待値の性質や分散の計算方法についてわかりやすく解説します。

期待値の性質

まず、確率変数XとYの和の期待値について説明します。もしXとYが独立であれば、和の期待値は次のように表せます。

E(X + Y) = E(X) + E(Y)

この性質は、XとYが独立でなくても成り立ちます。つまり、XとYが従属していても、この式は成り立ちます。独立性がなくても和の期待値に関しては心配する必要はないということです。

次に、確率変数XとYの積の期待値についてです。独立であれば、積の期待値も次のように計算できます。

E(XY) = E(X) * E(Y)

しかし、XとYが独立でない場合、積の期待値は単にE(X) * E(Y) とはならず、共分散の項を加味する必要があります。具体的には、以下の式が成立します。

E(XY) = E(X) * E(Y) + Cov(X, Y)

したがって、XとYが独立でない場合、E(XY)の計算には共分散の影響を考慮する必要があります。

次に、分散の性質について解説します。分散は確率変数のばらつきを表すもので、期待値との関係を持っています。確率変数XとYの和の分散は次のように表されます。

Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) + 2 * Cov(X, Y)

ここで、Var(X)とVar(Y)はそれぞれXとYの分散で、Cov(X, Y)はXとYの共分散です。独立であれば、Cov(X, Y)は0となり、分散の式は簡単に次のように計算できます。

Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y)

このように、独立性の有無が分散計算に影響を与えるため、積の期待値と同じように共分散を考慮する必要があります。

期待値の性質が成り立つ理由は、確率変数の和や積の分布における共分散が、個々の期待値に加わるためです。確率変数が独立でない場合、共分散が0でないため、期待値や分散の計算に影響を与えます。

このような性質を理解するためには、確率論の基本的な法則や、確率変数間の関係（共分散など）をしっかり理解することが必要です。

期待値や分散の計算は、確率変数が独立であるかどうかによって異なります。和に関しては独立性に関わらず期待値が簡単に求められますが、積に関しては共分散を考慮する必要があります。この理解を深めることで、より複雑な確率問題にも対応できるようになります。