なぜ1 = 3/3が成り立つのか？無限小数と数学的真実

「1/3が0.333…で、3/3が0.999…のはずなのに、なぜ1=3/3が成り立つのか？」という質問は、数学における無限小数の特性を理解するために重要なものです。この問題を解くためには、無限小数とその性質について考える必要があります。

1. 0.333… と 0.999… の違い

まず、0.333…と0.999…の違いについて説明しましょう。0.333…という数は、無限に続く小数で、1/3に相当します。一方、0.999…は無限に続く小数ですが、これは1に非常に近い数です。直感的に見ると、「0.999…」は「1」に見えるかもしれませんが、数学的に言うと、0.999…は実際に1と同じ数です。

なぜなら、0.999…は1との差が無限に小さく、ゼロに収束するからです。数式で表すと、0.999…は1と等価であると証明できます。

2. 無限小数とその収束

無限小数とは、端がない小数です。例えば、1/3は0.333…と無限に続きますが、この無限小数は実際に「1/3」という数に収束しています。

0.999…も無限小数であり、実際には「1」と等しいとみなされます。無限小数の性質として、例えば「1 – 0.999… = 0」といった関係が成り立つことが理解できます。この結果から、0.999…は1と完全に一致していることがわかります。

3. 6/3 や 9/3 の計算とその意味

次に、6/3や9/3について考えてみましょう。あなたの質問で挙げられたように、「6/3は0.333…が6つだから1.999…8になる」というのは誤解を招く表現です。実際には、6/3も9/3もそれぞれ2と3という整数に等しいのです。

無限小数に対して計算を行う場合、結果として得られる値が限りなく1に近づくのではなく、整数としてきちんと収束します。したがって、6/3は2、9/3は3です。

4. 数学的な視点で見る0.999…の理解

0.999…が1に等しいという事実は、数学的には次のように理解できます。0.999…という数は、0.9、0.99、0.999…と続いていき、その差がどんどん小さくなり、最終的には1に収束します。

この概念は、無限級数や収束の理論によって支えられています。簡単に言うと、0.999…は「1」に限りなく近づいているだけでなく、実際に「1」と等しいということです。

5. まとめ

1 = 3/3が成り立つ理由は、0.999…という無限小数が1に等しいからです。無限小数の収束性を理解することで、これらの数の性質を正しく認識できるようになります。無限小数は直感的には理解しづらいかもしれませんが、数学的にはきちんとした理論に基づいています。