直方体を対角線軸にして1回転させた図形の体積の求め方

高校数学の問題として、直方体を対角線を軸にして1回転させた図形の体積を求める問題があります。これは図形の回転体の体積を求める問題であり、積分を使うことで解くことができます。本記事では、直方体を回転させた場合の体積を求める方法を詳しく解説します。

直方体の基本的な情報

まず、与えられた直方体の寸法は縦1、横2、高さ1です。この直方体を対角線を軸にして1回転させた図形を考えます。対角線を軸にするということは、直方体の1つの角から対角線に沿って回転を行うことになります。

このような回転体の体積を求めるには、回転体の断面積を積分していく方法を使います。この断面積を求めるためには、直方体の1辺に垂直な平面を取り、その断面が回転する様子を想像します。

回転体の体積の求め方

直方体を回転させた図形の体積は、円環の断面積を積分することで求めることができます。具体的には、円環の半径を求め、その半径の変化に応じて積分を行います。この場合、直方体の寸法に合わせて、半径がどのように変化するかを数学的に表現する必要があります。

この問題を解くために、まずは直方体の対角線を求め、その対角線を回転軸として使用します。回転の結果として得られる図形は、円環状の断面を持つ回転体となります。

積分を使った解法

直方体を回転させた際の体積は、積分によって求めることができます。回転軸となる対角線に沿った軸を基準に、図形の各断面がどのように回転するかを積分して計算します。積分の範囲や関数を適切に設定することで、この問題を解くことが可能です。

この手法を使うことで、回転体の体積を数学的に求めることができ、直方体を回転させた図形の体積を求めるためのアプローチが明確になります。

まとめ

直方体を対角線軸にして1回転させた図形の体積を求める問題は、回転体の体積を積分を使って求める問題です。まず直方体の対角線を求め、その後、積分によって断面積を計算します。このような回転体の体積の求め方を理解することで、他の回転体の体積を求める際にも応用できる知識が得られます。