複数変数の変数変換と範囲の求め方：u=x+y, v=x-yの場合の手順

大学数学

2026.01.14

複数変数の変換において、範囲を求める際の手順や注意点について、具体例を使って解説します。特に、u=x+y, v=x-y の変数変換を行う際に、どのように範囲を求めればミスを防げるか、効果的な方法を紹介します。

変数変換と範囲の設定

まず、問題文にあるように、変数変換 u = x + y、v = x – y を行ったとき、範囲 D = {(x, y) | x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 1} の新しい範囲 D’ を求めます。この変換を行うには、変数 x と y を u と v に関して表現する必要があります。

変数変換の手順は、まず x と y を u と v の関数として解き、次にそれらの関係を使って新しい範囲を求めます。

u = x + y, v = x – y の式から、x と y をそれぞれ u と v の式で表すことができます。

u = x + y と v = x – y の連立方程式を解くと、次のように求められます。

x = (u + v) / 2

y = (u – v) / 2

これで、x と y が u と v の関数として表現されました。

次に、元の範囲 D = {(x, y) | x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 1} を新しい範囲 D’ に変換します。この変換には、x と y の不等式を u と v の不等式に書き換えます。

元の条件に基づいて、不等式を変換していきます。

これらをまとめると、新しい範囲 D’ は次のようになります。

D’ = {(u, v) | u + v ≥ 0, u – v ≥ 0, u ≤ 1}

変数変換を行う際の注意点は、変換後の範囲を適切に表現することです。特に、変数xとyが0以上という制約を正しく反映させることが重要です。変数変換後の範囲が正しいかどうかを確認するためには、各条件を確認しながら計算を進めていくことが必要です。

複数変数の変換を行う際には、まず元の変数を新しい変数に変換し、その後新しい変数に対する範囲を求めます。範囲を求める際のコツは、変数変換式を正確に解くこと、そして元の条件を正しく反映させることです。手順を一つ一つ確認することで、ミスを防ぎながら正確に範囲を求めることができます。