2次方程式の解と不等式の解法: 詳細解説

今回は、2次方程式 x² – 4x + 1 = 0 の解を求め、その解を使った不等式の問題を解説します。具体的には、解の大きい方を p、小さい方を q とした場合のaの値を求め、さらに不等式 ax – 6 > 0 を満たす x の最小の整数値を求めます。

1. 2次方程式の解を求める

まず、与えられた2次方程式 x² – 4x + 1 = 0 の解を求めます。解の公式を使って解きます。解の公式は次のようになります。

x = (-b ± √(b² – 4ac)) / 2a

ここで、a = 1, b = -4, c = 1 ですので、解は以下のように計算できます。

x = (4 ± √((-4)² – 4×1×1)) / 2×1 = (4 ± √(16 – 4)) / 2 = (4 ± √12) / 2 = (4 ± 2√3) / 2

したがって、2つの解は次の通りです。

x₁ = 2 + √3, x₂ = 2 – √3

ここで、p は大きい方の解、q は小さい方の解です。したがって、p = 2 + √3, q = 2 – √3 となります。

問題で与えられている式は a = p – q – 3 ですので、これを代入して計算します。

a = (2 + √3) – (2 – √3) – 3 = 2 + √3 – 2 + √3 – 3 = 2√3 – 1

したがって、a の値は 2√3 – 1 です。

次に、不等式 ax – 6 > 0 を解きます。a = 2√3 – 1 を代入して、不等式は次のようになります。

(2√3 – 1)x – 6 > 0

まず、x の式を解くために、右辺を移項して次のようにします。

(2√3 – 1)x > 6

x > 6 / (2√3 – 1)

分母を有理化して計算します。

x > 6 / (2√3 – 1) × (2√3 + 1) / (2√3 + 1)

x > (6(2√3 + 1)) / ((2√3)² – 1²) = (6(2√3 + 1)) / (12 – 1) = (6(2√3 + 1)) / 11

計算を続けると、x の最小の整数値はおおよそ 2.4 になります。したがって、不等式を満たす最小の整数値は x = 3 です。

この問題では、まず2次方程式の解を求め、その解を使用してaの値を計算し、次に不等式を解いて最小の整数解を求めました。手順を追って解くことで、漠然とした問題も理解しやすくなります。解の公式や不等式の解法に関しても基本を押さえつつ進めると良いでしょう。