60^nの正の約数の総和を求める方法

高校数学の数列に関する問題で、「60^nの正の約数の総和」を求める問題について解説します。具体的には、nは自然数であり、60^nの約数の総和を求める方法をわかりやすく説明します。

60の因数分解

まず、60を素因数分解します。60は次のように分解できます：60 = 2^2 × 3 × 5です。この因数分解を使って、60^nを計算します。

60^nを求めると、次のようになります：60^n = (2^2 × 3 × 5)^n = 2^{2n} × 3^n × 5^nです。このように、60^nは各素因数に関してn乗した形になります。

約数の総和を求めるためには、各素因数に関して次の公式を使用します：約数の総和 = (1 + p + p^2 + … + p^k)です。

この公式を使うと、60^nの約数の総和は次のように求められます。

これらを全て計算すると、60^nの正の約数の総和は次の式で表されます。

(1 + 2 + 2^2 + … + 2^{2n})(1 + 3 + 3^2 + … + 3^n)(1 + 5 + 5^2 + … + 5^n)

この計算を行うことで、60^nの正の約数の総和が求められます。

最後に、求めた総和を7で割った余りを求める場合、計算結果を7で割った余りを求めます。実際の計算では、余りを求める操作は数式の最後に行うことが一般的です。

60^nの正の約数の総和を求めるためには、まず60を素因数分解し、それぞれの素因数の総和を計算します。その後、得られた総和を掛け合わせることで、最終的な総和が求められます。そして、7で割った余りを求めることができます。