複素積分は、複素関数の解析や物理学、工学で広く使われる重要な数学的手法です。この問題では、点iを中心とする半径1の円の上半分に沿って複素積分を計算します。質問者は、積分結果がπi/2になると述べていますが、正しい結果はπ/2であり、この違いについて解説します。
問題設定と積分の定義
積分は、次のように与えられています。Cは点iを中心とする半径1の円の上半分、つまりi+1からi-1までの範囲です。積分の式は、Re(z)に沿って計算されます。
積分式は次のようになります。
∫C Re(z) dz
ここで、Re(z)は複素数zの実部を示し、dzは複素変数zの微小変化を意味します。
積分の計算過程
まず、Cのパラメータ表示を行います。円Cの上半分をパラメータtを用いて次のように表します。
z(t) = e^{it} + i (t: 0 ≤ t ≤ π)
これにより、積分区間はt=0からt=πとなります。Re(z)は実部なので、z(t)の実部を計算します。
Re(z(t)) = cos(t)
次に、dzの微小変化を求めます。
dz = i e^{it} dt
したがって、積分式は次のように書き換えることができます。
∫C Re(z) dz = ∫0 to π cos(t) i e^{it} dt
この積分を計算すると、最終的に得られる結果はπ/2となります。
なぜπi/2ではないのか
質問者がπi/2と計算した理由について考えると、誤って積分を実部ではなく虚部で計算した可能性があります。Re(z)はzの実部に対応するため、計算過程で虚部の成分を含めないようにする必要があります。もしπi/2が得られた場合、それは虚部を含んだ間違った計算結果です。
まとめ
複素積分では、与えられた積分区間に沿って適切にパラメータ化し、実部と虚部を正しく区別することが重要です。この問題では、Re(z)が複素数zの実部を意味するため、正しい積分結果はπ/2であり、πi/2は間違った結果です。
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