数論の問題で出てくる「表現できない整数」というテーマについて詳しく解説します。特に、(1)と(2)の問題に関連する式の使い方を理解し、なぜそのような計算になるのかを詳しく説明します。
1. 数論における表現できない整数とは？
この問題では、整数n,m,a,bが0以上の整数で与えられたとき、na + mbの形で表現できない整数pを求めます。簡単に言えば、n回のaの足し算とm回のbの足し算で得られない整数pを探す問題です。
2. (1) n=6, m=13 の場合の最大の表現できない整数
まず(1)について考えます。n=6, m=13の場合、最大の表現できない整数は「(n-1)(m-1) – 1」と計算できます。式に当てはめると、(6-1)(13-1) – 1 = 5 × 12 – 1 = 59となり、答えは59です。
3. (2) n=5, m=11 の場合に表現できない整数の個数
(2)では、n=5, m=11の場合に表現できない整数がいくつあるかを求める問題です。表現できない整数の個数は「(n-1)(m-1)/2」と計算します。これを使うと、(5-1)(11-1)/2 = 4 × 10 / 2 = 20 となり、20個の整数が表現できないことがわかります。
4. 数式が成立する理由
なぜこのような式が成立するのかについて説明します。「(n-1)(m-1)」は、nとmが与える制約を元にして、表現できない整数の範囲を求める式です。この式が示すように、nとmが異なる場合の最大の表現できない整数は「(n-1)(m-1) – 1」であり、その数の個数は「(n-1)(m-1)/2」となります。
5. まとめ
このような問題は、数論の基本的な性質を理解し、適切な式を用いることで解決できます。nとmを与えられた場合に、表現できない整数の最大値やその個数を計算するためには、正しい数式を使うことが重要です。
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