二次不等式 x² – mx + m + 1 > 0 の解が実数であるためのmの範囲の求め方

二次不等式の解の範囲を求める問題で、x² – mx + m + 1 > 0 の解が実数であるときの定数mの範囲を求める方法を解説します。この問題は、判別式を使って解を導き出すことができます。この記事では、具体的な手順をわかりやすく説明します。

二次不等式の理解

問題となる二次不等式は x² – mx + m + 1 > 0 です。まず、この不等式を標準形で表すと、x² – mx + (m + 1) > 0 となります。

二次不等式の解が実数であるための条件を求めるためには、まずその不等式の対応する二次方程式 x² – mx + (m + 1) = 0 の解を考えます。この二次方程式の解が実数であるための条件を判別式を使って求めます。

判別式を用いた解法

二次方程式 ax² + bx + c = 0 の判別式 D は、次のように求められます。

D = b² – 4ac

ここで、x² – mx + (m + 1) = 0 の係数を a = 1, b = -m, c = m + 1 とすると、判別式 D は以下のように計算できます。

D = (-m)² – 4(1)(m + 1)

D = m² – 4(m + 1)

これを展開して整理すると、次のようになります。

D = m² – 4m – 4

解が実数であるためには、判別式 D が非負でなければなりません。したがって、次の不等式を解きます。

m² – 4m – 4 ≥ 0

不等式の解法

m² – 4m – 4 ≥ 0 を解くためには、この二次不等式を解きます。まず、m² – 4m – 4 = 0 の解を求めるために、解の公式を使います。

m = (-(-4) ± √((-4)² – 4(1)(-4))) / 2(1)

これを計算すると。

m = (4 ± √(16 + 16)) / 2

m = (4 ± √32) / 2

m = (4 ± 4√2) / 2

m = 2 ± 2√2

したがって、mの範囲は m ≤ 2 – 2√2 または m ≥ 2 + 2√2 となります。

まとめ

二次不等式 x² – mx + m + 1 > 0 の解が実数であるための定数mの範囲は、m ≤ 2 – 2√2 または m ≥ 2 + 2√2 です。判別式を利用して、二次方程式の解が実数であるための条件を求め、最終的にmの範囲を導きました。この方法を使えば、同様の問題を解く際に役立てることができます。