方程式 (sinx+1)(cosx+1)=k の解が 0≦x＜2π の範囲にちょうど2つある実数kを求める方法

この問題では、方程式 (sinx+1)(cosx+1)=k が 0≦x＜2π の範囲で解が2つだけになるような実数 k を求める問題です。この記事では、この方程式を解くための手順を解説します。

1. 方程式の展開

まず、与えられた方程式 (sinx+1)(cosx+1)=k を展開してみましょう。

(sinx+1)(cosx+1) = sinx * cosx + sinx + cosx + 1

これを整理すると、以下のようになります。

sinx * cosx + sinx + cosx + 1 = k

よって、問題の方程式は次のようになります。

sinx * cosx + sinx + cosx + 1 = k

sinx * cosx は積和公式を使って簡単に変換できます。積和公式を使うと。

sinx * cosx = (1/2) * sin(2x)

これを元の式に代入します。

(1/2) * sin(2x) + sinx + cosx + 1 = k

sinx + cosx をさらに簡単にするために、次の式を使います。

sinx + cosx = √2 * sin(x + π/4)

これを代入すると、次のようになります。

(1/2) * sin(2x) + √2 * sin(x + π/4) + 1 = k

次に、この方程式の解が 0≦x＜2π の範囲でちょうど2つになるような k の値を求めます。

この方程式の解の個数は、sin(2x) や sin(x + π/4) の周期に依存します。解の個数が2つになるためには、k の範囲が決まるため、この範囲を計算する必要があります。

この問題は、与えられた方程式を展開し、三角関数の恒等式を使って変形することで解くことができます。最終的に、解が2つになるような k の範囲を求めることで答えを得ることができます。