1次変換を用いた重積分の計算方法

今回は、1次変換を使った重積分の計算方法を解説します。具体的には、次の2つの問題を扱います。

問題1：重積分 ∫∫D (x²－y²)² dxdy の計算

まず、与えられた問題は次のようになります：
∫∫D (x²－y²)² dxdy, D: ｜x－y｜≦1, ｜x＋y｜≦3。ここで、重積分を解くためには1次変換を用いて、積分領域Dを簡単な形に変換することが求められます。

この問題においては、変数変換を行うことで、与えられた領域Dを直線的な範囲に変換できます。具体的には、xとyを新たな変数u, vで置き換えることで、計算を単純化します。この変換後、積分区間を再設定し、積分を実行することができます。

次に、2つ目の問題は次のようになります：
∫∫D cos(x + y) dxdy, D: x≧0, y≧0, x + y≦π/2。ここでも、適切な変数変換を行い、積分を簡単に解く方法を考えます。

この問題では、x + y = t のように新たな変数tを導入し、積分範囲を再構成することができます。変数変換後、問題は1次元の積分問題として簡素化されるので、計算を行いやすくなります。

1次変換は、特に直線的な領域での積分計算を簡単にするために有効です。xとyを新たな変数uとvに変換することで、積分領域をより計算しやすい形に変形することが可能です。変換後は、単純な積分範囲に変換され、複雑な形の積分も解きやすくなります。

今回解説したように、1次変換を用いた重積分の計算は、変数変換を行うことで計算を効率化できます。変数変換を適切に使用し、積分区間を簡単に再設定することで、複雑な重積分問題も解くことができるようになります。