クーロンの法則を使った電場の式の導出と電荷密度を用いた表現方法

物理学

2026.01.10

クーロンの法則を用いた電場の式の導出と、電荷密度を用いた電場の表現方法について解説します。この問題では、複数の点電荷がある場合の電場の合成について学ぶ必要があります。まず、クーロンの法則のベクトル表現から3つ以上の点電荷が生じる電場を求め、その後、位置ベクトルと電荷密度を用いた表現に進みます。

クーロンの法則のベクトル表現

クーロンの法則に基づく電場の式は、次のように表されます。1つの点電荷が作る電場は、電荷の大きさと距離の2乗に反比例し、電荷の位置から放射される方向に向かいます。電場Eは、次のベクトル式で表されます。

E = k_e * q / r^2 * r̂

ここで、k_eはクーロン定数、qは点電荷の大きさ、rは電荷からの距離、r̂は単位ベクトルです。

3つ以上の点電荷が存在する場合、それぞれの点電荷が作る電場をベクトル的に合成します。各点電荷が作る電場をE_iとした場合、合成された電場Eは次のように求められます。

E = Σ E_i = Σ (k_e * q_i / r_i^2 * r̂_i)

ここで、q_iは各電荷の大きさ、r_iは各電荷からの距離、r̂_iは単位ベクトルです。この式は、3つ以上の電荷がある場合でも同様に適用され、すべての電場ベクトルを合成して最終的な電場を求めます。

次に、位置ベクトルr_i'と電荷密度を用いて電場の式を表現します。電場は、電荷が連続的に分布している場合にも適用できます。この場合、電場は電荷密度ρ(r')を積分することによって求められます。

電場Eは次のように表されます。

E(r) = (1 / 4πε₀) ∫ (ρ(r') (r - r') / |r - r'|^3) dV'

ここで、ε₀は真空の誘電率、rは観測点の位置、r'は電荷が存在する位置、dV'は電荷密度の微小体積要素です。この式は、連続した電荷分布に対する電場を求める方法であり、無限に多くの点電荷を積分することで電場を導出できます。

クーロンの法則を使った電場の導出には、まず個別の点電荷による電場を求め、次にそれらをベクトル的に合成します。また、位置ベクトルと電荷密度を用いて電場を表現することで、連続的な電荷分布にも対応できます。これらの手法を使いこなすことで、複雑な電場の問題を解決することができます。