数学の極限問題：二項定理を使ってlim[n→∞]n²/2ⁿ=0を示す方法

数学の問題でよく登場する極限の問題の一つに、二項定理を使ってlim[n→∞]n²/2ⁿ=0を示す問題があります。今回は、この問題を詳細に解説していきます。

1. 問題の設定

問題は、nを正の整数とし、次の極限を示せというものです。

lim[n→∞]n²/2ⁿ=0

2. 二項定理の基本

二項定理は、(a+b)^nという形の式を展開する方法です。この定理を用いて、ある式の展開やその挙動を調べることができます。今回の問題では、二項定理自体を使うわけではありませんが、数式を評価するために極限を扱う重要なツールとして理解しておく必要があります。

3. 極限を求める方法

lim[n→∞]n²/2ⁿを求めるために、まずこの式の動きを考えます。n²はnが大きくなるにつれて徐々に増加しますが、2ⁿの方が指数的に急激に増加します。したがって、n²/2ⁿの値はnが無限大に近づくにつれて0に収束することが予想されます。

4. 実際に極限を計算する

まず、n²/2ⁿの値を計算してみましょう。nが大きくなると、分母の2ⁿが非常に大きくなり、分子のn²はそれに比べて遅く増加します。したがって、n²/2ⁿはnが無限大に近づくにつれて0に近づきます。

5. 結論

この問題を二項定理を使って示すことはありませんが、数式の成り立ちと極限の概念を理解することが重要です。結論として、lim[n→∞]n²/2ⁿは0であることがわかりました。