統計学のp値検定と帰無仮説に関する解説【具体例付き】

この質問は、統計学の帰無仮説検定（p値検定）に関する問題です。以下では、問題を解決するためのステップを分かりやすく解説します。

p値（左側検定）の問題解説

まず、最初に問題に取り組んでみましょう。硬貨を12回投げた結果、表が3回出たというデータを元に、帰無仮説Ho: p = 1/2（表が出る確率は1/2）を仮定します。

帰無仮説に基づき、X（表が出る回数）がちょうど3回となる確率を求めます。これは二項分布を使用します。二項分布の確率質量関数は次のように表されます。

P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1 – p)^(n-k)

ここで、nは試行回数（12回）、kは成功回数（3回）、pは成功確率（1/2）、C(n, k)は組み合わせの計算です。実際に計算すると、P(X = 3) = 0.1938 となります。

Xの値が3以下となる確率は、P(X ≤ 3)を計算します。これは、X = 0, 1, 2, 3の確率をそれぞれ計算して合計します。これを計算すると、P(X ≤ 3) = 0.7113 となります。

有意水準α = 0.05で左側検定を行った場合、最も適切な結論は、「pは1/2に等しいとはいえない」となります。p値が0.05より小さくないため、帰無仮説を棄却することができません。

次に、さいころを5回投げたデータを使用して、右側検定を行います。1の目が3回出たというデータに基づき、帰無仮説Ho: p = 1/6（1の目が出る確率は1/6）を仮定します。

X（1の目が出る回数）がちょうど3回となる確率は、再度二項分布を使用して計算します。P(X = 3) = 0.0322 となります。

Xが3以上となる確率は、P(X ≥ 3)を計算します。X = 3, 4, 5の確率を合計し、P(X ≥ 3) = 0.0704 となります。

右側検定の結果、最も適切な結論は「pは1/6に等しいとはいえない」となります。p値が0.05より小さいため、帰無仮説を棄却することができます。

次に、部品の重量に関するデータを用いて、母平均のZ検定を行います。

与えられたデータから標本平均Mを求めます。データを計算すると、標本平均M = 95.13 となります。

母分散σ^2が18^2と分かっているので、標準誤差を計算します。標準誤差は 18 / √n（nはデータの個数）です。計算すると、標準誤差は 4.85 となります。

Z値は、標本平均から帰無仮説に基づく平均を引き、標準誤差で割ることで求めます。Z = (M – 100) / 4.85 = -1.02 となります。

Z検定の結果、最も適切な結論は「μは100に等しいとはいえない」となります。Z値が-1.96より大きくないため、帰無仮説を棄却することはできません。

このような統計学の問題では、帰無仮説を設定し、p値を用いて仮説を検証します。それぞれの問題で、どのように検定を行い、結論を導き出すかを理解することが重要です。具体的な計算方法と手順を繰り返し学ぶことで、統計学の基礎をしっかりと習得することができます。