中学数学: 関数の変化の割合が等しいときのaの求め方

今回は、「関数y＝x²とy＝ax＋2について、xの値が1から3まで増加するときの変化の割合が等しい。aの値を求めよ。」という問題について、わかりやすく解説します。

1. 問題の理解

この問題では、2つの関数y＝x²とy＝ax＋2について、xが1から3まで増加する際にその変化の割合（つまり、傾き）が等しいことが条件です。ここで求めるべきは、直線y＝ax＋2の傾きを決めるaの値です。

関数の変化の割合は、一般的に「傾き」として計算します。変化の割合は、xの増加量に対するyの増加量の比率で求めることができます。

まず、関数y＝x²の場合、xの値が1から3まで増加したときの変化の割合を計算しましょう。yの変化は、y(3) – y(1) です。y(3) = 3² = 9, y(1) = 1² = 1 なので、変化の割合は (9 – 1) / (3 – 1) = 8 / 2 = 4 です。

次に、関数y＝ax＋2の変化の割合を計算します。xの値が1から3まで増加したとき、yの変化は y(3) – y(1) です。y(3) = 3a + 2, y(1) = a + 2 なので、変化の割合は (3a + 2 – (a + 2)) / (3 – 1) = (2a) / 2 = a です。

問題では、この2つの変化の割合が等しいとされています。したがって、4 = a という式が成り立ちます。よって、a = 4 となります。

この問題では、2つの関数の変化の割合が等しいことから、aの値を求めることができました。関数の傾きが等しいという条件を使って、a = 4 という答えにたどり着きました。