今回は、高校数学の数Bの問題に関する解法を解説します。質問者が取り組んだ問題は、再帰式を使った計算問題で、特にpn, qn, rnの式を求めることに関して困っているようです。この問題のステップを丁寧に解説し、具体的な解法を紹介します。
問題の理解
質問には次の再帰式が与えられています。
- p1 = 1/6, q1 = 1/3, r1 = 1/3
- p(n+1) = 1/6 * pn + 2/3 * qn + 2/3 * rn
- q(n+1) = 1/3 * pn + 1/6 * qn
- r(n+1) = 1/3 * pn + 1/6 * rn
- pn + qn + rn = (5/6)^n
まずはこれらの式を理解した上で、求める式を解いていきます。
再帰式を解くためのアプローチ
この再帰式の問題では、まず初期値と再帰式を使って、pn, qn, rnの値を求めることが求められます。特にpnの式を求めるために、与えられた式をうまく活用することが重要です。
問題に記載されているように、pn, qn, rnは再帰的に定義されています。再帰的に計算することで、次の値を求めていくことが可能です。
計算の手順
与えられた再帰式に従って計算していくことで、pn, qn, rnの数値を段階的に求めていきます。この時、pn + qn + rnの合計が(5/6)^nであることを利用して計算を進めます。
次に、pnの具体的な式を求める手順を示します。式は次のようになります。
pn = (5/6)^n * {-13/60(3/5)^n + 5/12}
これを使って具体的な値を求めることができます。
計算結果と考察
最終的にpn, qn, rnの値を求めることができた後、これらの値を用いて与えられた式を再確認します。このような問題を解く際には、再帰式に基づく計算の反復を大切にし、式の間違いを防ぐことが重要です。
まとめ
この問題では、再帰式を使った計算の方法を学ぶことができました。pn, qn, rnの値を求めるために、再帰式を適切に活用することが重要です。今後も同様の問題に挑戦する際には、再帰式の計算に慣れることが大切です。
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