微分可能な関数の問題解法：連続性と微分係数を使ったアプローチ

微分可能な関数の問題では、連続性や微分係数を活用して解く方法が重要です。今回は、与えられた関数がx=0で微分可能になるように実数a, b, cを求める問題を解いていきます。問題は以下の2つの方法で解きます。

問題の内容

関数f(x)がx=0で微分可能になるように、実数a, b, cを求める問題です。関数は次のように定義されています。

f(x) = 1 + 3x - a cos(2x) / 4x (x > 0)

f(x) = bx + c (x ≤ 0)

この問題では、次の2つの方法で解くことが求められています。

まず、x=0での連続性を確保するために、左右の極限を一致させる必要があります。f(x)はx=0の周りで2つの式に分かれていますので、まず連続性を確認します。

x=0で連続するためには、x>0のときとx≤0のときで計算したf(x)の値が一致しなければなりません。つまり、以下の条件を満たす必要があります。

lim(x→0⁺) f(x) = lim(x→0⁻) f(x)

x>0のときのf(x)の式から、x→0のときのf(x)の値を求め、次にx≤0のときのf(x)の式で同じように求めます。この2つの値が一致するようにa, b, cを決めます。

次に、微分可能性を確認するためには、微分係数が一致する必要があります。具体的には、f'(x)の左右の極限が一致する必要があります。

微分可能性を確保するためには、以下の条件を満たす必要があります。

lim(x→0⁺) f'(x) = lim(x→0⁻) f'(x)

x>0のときとx≤0のときのf(x)の微分を計算し、それぞれの極限を求めます。これらの微分係数が一致するようにa, b, cを決めることで、微分可能性を確保できます。

この問題を解くためには、連続性と微分係数をしっかりと理解することが重要です。連続性を確認することで、関数がx=0で途切れずに繋がっていることを確認し、微分係数を一致させることで、x=0で微分可能であることを確認できます。

このように、微分可能性の問題は連続性と微分係数を使って解くことが基本です。与えられた関数がx=0で微分可能になるように実数a, b, cを求める際には、まず連続性を確認し、次に微分係数が一致するように調整することが求められます。しっかりと計算し、理解することが解法への鍵です。