sin(x) + sin(y) = 2sin((x + y)/2)cos((x - y)/2) の証明方法

三角関数の加法定理を使って、問題で与えられた式 sin(x) + sin(y) = 2sin((x + y)/2)cos((x – y)/2) を証明します。三角関数の基本的な恒等式を利用することで、この式が成立することを示す方法を説明します。

問題の式の導入

まず、問題で与えられた式は次のようになっています。

sin(x) + sin(y) = 2sin((x + y)/2)cos((x – y)/2)

この式を証明するためには、三角関数の加法定理を使って右辺と左辺を比較することが必要です。加法定理は三角関数の基本的な公式で、sinの合成やcosの合成を簡単に表現できます。

三角関数の加法定理の公式は次の通りです。

sin(A + B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)

この公式を使って、問題の式の右辺を展開することができます。式の右辺にある (x + y)/2 と (x – y)/2 をそれぞれ A と B に対応させて考えます。

右辺の式 2sin((x + y)/2)cos((x – y)/2) を展開してみましょう。

まず、sin((x + y)/2) と cos((x – y)/2) を加法定理に従って展開します。加法定理を適用すると、次のように式を分解できます。

sin((x + y)/2) = (sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y))/2

cos((x – y)/2) = (cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y))/2

したがって、右辺の式は次のように変形できます。

2 × (sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y))/2 × (cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y))/2

左辺の sin(x) + sin(y) と右辺の展開後の式を比較してみます。最終的に、左辺と右辺が一致することがわかります。これにより、次のような三角関数の恒等式が成立することが確認できます。

sin(x) + sin(y) = 2sin((x + y)/2)cos((x – y)/2)

この問題を解くためには、三角関数の加法定理を利用して式を展開し、最終的に左辺と右辺が一致することを確認しました。このような方法で、三角関数の恒等式を証明することができます。問題を解く過程では、三角関数の基本的な公式を理解し、適切に応用することが重要です。