2次関数の値域を求める方法とその正しい解法

2次関数の値域を求める際に、単純にxの最小値や最大値を代入する方法では解けない理由と、その正しい解法について詳しく解説します。特に、変域が与えられたときの値域を求める際に重要なポイントを解説します。

2次関数の変域と値域の関係

2次関数の値域を求める場合、単に変域の最小値と最大値を代入してその結果を求めることができる場合もありますが、すべてのケースでその方法が適切なわけではありません。特に、2次関数のグラフが放物線であるため、最小値または最大値を求める際には頂点の位置を考慮する必要があります。

なぜ単純な代入では解けないのか

2次関数のグラフは放物線であり、頂点が最小値または最大値を示す点です。与えられた変域の最小値と最大値を代入して得られる値が、関数の値域のすべてではない場合があります。例えば、変域が-1≦x≦5のとき、x=2で最小値または最大値が現れることがあり、これを無視してしまうと値域が誤ってしまう可能性があります。

値域を求めるために必要な手順

値域を正しく求めるためには、まず関数の頂点を求め、頂点が放物線の最小または最大の点であることを理解することが重要です。その後、頂点の座標を含む範囲内でxの値を代入し、その結果を値域として求めます。

例題の解説

例えば、2次関数y = x² – 2x + 3の変域が-1≦x≦5の場合、この関数のグラフは上に凸の放物線です。まず、頂点のx座標を求め、次にそのx座標のy値を代入して最小値を確認します。次に、変域の両端であるx=-1とx=5を代入して、それぞれのy値を求め、最小値と最大値を見つけます。

代入以外の方法：グラフを使った解法

代入を使わずにグラフを描くことで、関数の振る舞いや最小値・最大値を視覚的に確認することもできます。放物線の頂点を求める方法や、yの最大・最小の位置を特定するグラフの描き方を覚えておくと、実際の問題に役立ちます。

まとめ

2次関数の値域を求める際には、単純な代入だけでは解けない理由があります。特に、2次関数が放物線の形をしているため、頂点を考慮しなければ正しい値域は求められません。頂点の位置をしっかりと理解し、必要な場合はグラフを描くなどして値域を求める方法を習得することが大切です。