複素数の絶対値と共役複素数の関係について解説

複素数の絶対値や共役複素数に関して、式を使って理解を深めることは重要です。特に、絶対値に関する式が成り立つかどうかの疑問が多くあります。今回は、次の式が成り立つかどうかについて考えます：
|z – 1|² = |z – 1||z̅ – 1| = (z – 1)(z̅ – 1)（ここで、z̅はzの共役複素数）

絶対値の基本と複素数の共役

複素数z = a + bi（a, bは実数）の場合、共役複素数z̅はa – biであり、絶対値|z|は√(a² + b²)で表されます。ここで、z – 1を考えると、z = a + biの場合、z – 1 = (a-1) + bi となり、その絶対値は|z – 1| = √((a-1)² + b²) です。これが、計算式を解く基礎となります。

与えられた式の検証

与えられた式が成り立つかどうかを確認します。式 |z – 1|² = (z – 1)(z̅ – 1) が正しいかどうかを検討するには、実際に計算してみるのが有効です。まず、(z – 1)(z̅ – 1) を展開し、計算結果が|z – 1|²に一致するか確認しましょう。

計算結果

具体的に計算してみると、(z – 1)(z̅ – 1) を展開すると次のようになります：
(z – 1)(z̅ – 1) = (a-1 + bi)((a-1) – bi) = (a-1)² + b²。
したがって、(z – 1)(z̅ – 1)は実際に|z – 1|²と一致します。これにより、与えられた式が成り立つことが確認できます。

まとめ

結論として、与えられた式 |z – 1|² = (z – 1)(z̅ – 1) は正しく、実際に複素数の絶対値と共役複素数を使って計算すると、この式は成り立つことが確認できました。複素数の性質を理解することは、数学や物理の問題を解く上で重要です。