f(x) = 2x³ + 3x² + 6x – 27 のグラフについて：単調増加とx軸の交点

この問題では、関数 f(x) = 2x³ + 3x² + 6x – 27 のグラフについて、y軸を-27で通ること、そしてx軸をどこで通るのかについて考えます。まずは、関数の特徴を掘り下げて解説します。

関数の単調増加とy軸との交点

関数 f(x) = 2x³ + 3x² + 6x – 27 の最初の特徴は、そのグラフが単調増加する点です。単調増加とは、関数が常に増加し続けることを意味します。この関数の導関数 f'(x) を求めてみましょう。

f'(x) = 6x² + 6x + 6 です。この導関数は、どのxに対しても正の値を取るため、関数は単調増加します。したがって、f(x)のグラフは常に上昇する形になります。

y軸との交点

関数がy軸を通る点は、x = 0のときのyの値を求めることで確認できます。x = 0を関数に代入すると、f(0) = 2(0)³ + 3(0)² + 6(0) – 27 = -27 となります。したがって、このグラフはy軸を-27で通ります。

x軸との交点

次に、x軸との交点を求めます。x軸上の点では、yの値が0になります。したがって、f(x) = 0 の解を求める必要があります。

f(x) = 2x³ + 3x² + 6x – 27 = 0 となります。この方程式を解くと、x軸との交点を求めることができます。具体的な解法は、因数分解や数値計算を使用してxの値を求めます。

まとめ

f(x) = 2x³ + 3x² + 6x – 27 のグラフは、単調増加し、y軸を-27で通ります。x軸との交点を求めるためには、方程式 f(x) = 0 を解く必要があります。この問題では、関数の増加性とx軸との交点の計算を行いました。