3次関数の局地の条件から関数決定で十分条件を確認する理由

3次関数の極値を求める問題では、局所的な極値の条件を確認することが非常に重要です。特に、極値を求めるための十分条件を確かめる理由について、この記事ではその必要性を解説します。

極値の条件とは？

まず、極値を求めるためには、まずその点で導関数がゼロであることが必要です。すなわち、関数f(x)がx = αで極値をとるためには、f'(α) = 0でなければなりません。この条件は、関数が増加から減少、またはその逆になる点、つまり極値となる点を見つけるために必須の条件です。

しかし、これだけでは極値が本当に局所的な極大または極小であるかは分かりません。そこで、さらに十分条件として、2階導関数を確認する必要が出てきます。

十分条件とその確認の重要性

f'(α) = 0 だけでは、f(α)が極大値であるのか、極小値であるのか、または単に点が変曲点であるのかは分かりません。例えば、2階導関数f”(α)が正であれば、f(α)は極小値となり、逆にf”(α)が負であれば極大値になります。このように、2階導関数を使って極値の種類を判断することができます。

そのため、求めた係数を代入して2階導関数を計算し、結果を確認することが非常に重要です。もし2階導関数がゼロだった場合、更に高次の導関数を調べる必要が出てくることもあります。この手順は、極値が存在するか、またその種類が何であるかを正確に確かめるために必須です。

なぜ解いて求めた係数を代入して確認するのか？

一見、f'(α) = 0を満たした時点で、極値が確定したように思えるかもしれません。しかし、実際にはその点が極値であることを確認するためには、2階導関数を調べることが重要です。なぜなら、f'(α) = 0の条件だけでは、増加と減少の転換が実際に起こるかどうかを確定することができないからです。

したがって、求めた係数を代入して確認することは、極値が本当に局所的な極大または極小であることを確認するための「十分条件」を検証する手順であり、この手順を省略することは誤った結論に導かれる可能性を高めます。

まとめ

3次関数の極値を求める際には、単にf'(α) = 0を満たすだけではなく、2階導関数を計算して、その値によって極値の種類を確認することが重要です。これにより、求めた点が局所的な極大値または極小値であるかどうかを正確に判断できます。したがって、解いた後の係数を代入して確認することは、必要不可欠な手順となります。