完全数と数論：Ｓ（ｎ）＝２ｎを満たすｎの求め方

この問題では、自然数ｎのすべての正の約数の和をＳ（ｎ）と定義し、ｎが異なる素数pとqによってn=p²qと表されるとき、Ｓ（ｎ）＝２ｎを満たすｎを求める問題です。数弱の方でも理解できるように、具体例を交えながら解説していきます。

1. Ｓ（ｎ）とは？

Ｓ（ｎ）は、自然数ｎのすべての正の約数の和です。例えば、n=9の場合、9の約数は1、3、9なので、Ｓ（９）＝1＋3＋9＝13となります。つまり、Ｓ（ｎ）は、nが持つすべての約数を足し合わせた値を意味します。

ここで言う「n=p²q」というのは、nが異なる素数pとqを使ってpの2乗とqを掛けた形を指します。たとえば、n=18はp=3、q=2に対応し、3²×2＝18となります。

問題の条件であるＳ（ｎ）＝２ｎを満たすｎを求めるために、n=p²qの形でnを考え、各場合についてＳ（n）を計算します。次に、得られた値が２ｎと一致する場合を見つけます。

例えば、n=18の場合、Ｓ（１８）を計算してみましょう。１８の約数は1、2、3、6、9、18ですので、Ｓ（１８）＝1＋2＋3＋6＋9＋18＝39となります。一方で、2×18＝36です。これは一致しません。

次にn=28を考えます。28の約数は1、2、4、7、14、28ですので、Ｓ（28）＝1＋2＋4＋7＋14＋28＝56であり、2×28＝56となり、この条件を満たします。したがって、n=28は条件を満たす解です。

Ｓ（n）＝２ｎを満たすｎを求める問題では、n=p²qの形で素因数分解し、各約数の和を計算することによって解が得られます。実際に計算してみると、28がその一例であることがわかりました。

この問題の解法では、数論的な理解が重要です。特に、完全数や約数の和を求める方法、またそれを利用して条件に合った解を見つける手順を踏むことで、数学的な思考を深めることができます。