高校数学における関数の問題で、[f(x)]^2 = g(x)という式からf(k) = 0が成立するかどうかを考えることがあります。質問者は、この式が成立するための証明を求めています。この記事では、この問題を詳しく解説し、数学的に証明します。
問題の設定
まず、与えられた式を確認しましょう。f(x)とg(x)が実数値の関数で、次のような式が与えられています。
[f(x)]^2 = g(x)
さらに、kは実数とし、次の等式が成り立つかを考えます。
f(k) = 0
具体的には、g(k^2) = 0 が成り立つときに、f(k)が0になるかを問われています。
[f(x)]^2 = g(x) の式の意味
式[f(x)]^2 = g(x)は、xの値に対してf(x)の二乗がg(x)と等しいことを意味します。この式が成り立つ場合、f(x)はg(x)の平方根に関係していることがわかります。ただし、g(x)が負の値を取ることはないため、f(x)も実数の範囲内で定義されていると仮定します。
この式からは、f(x)の値がg(x)の平方根に関連しているため、g(x)が0になるとき、f(x)は0である必要があると予想できます。ここで、kを適用した場合について考えます。
f(k) = 0 が成立するための条件
次に、f(k) = 0が成立するかどうかを検討します。もしg(k^2) = 0であるなら、[f(k^2)]^2 = g(k^2) = 0 となります。このとき、f(k^2)の値は0である必要があり、これはf(k)が0であることを示唆します。
したがって、f(k^2) = 0が成り立つ場合、f(k)も0であることが証明されます。このように、f(k)が0であるという結論は、与えられた式に基づいて正しいことがわかります。
簡単な証明の流れ
問題を解くための簡単な証明の流れをまとめると、以下のようになります。
- 与えられた式： [f(x)]^2 = g(x)
- f(k^2)の平方が0であることから、f(k^2) = 0 となる
- f(k^2) = 0 ならば、f(k)も0 であることがわかる
このように、f(k) = 0は成立することが証明されます。
まとめ
式[f(x)]^2 = g(x)が与えられた場合、g(k^2) = 0が成り立つときにf(k)も0であることが証明されました。この証明は、関数の基本的な性質を理解する上で非常に有用です。数学的に見ると、平方根の関係が自然に導かれ、関数の値を求める上での重要な手順を示しています。
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