整数 x = 3m + 5n の形で表されない正の整数の求め方

この問題は、整数xが3m + 5nの形で表せない正の整数を求めるというものです。3と5は互いに素な整数であり、このような問題では数論の基本的な概念を理解することが重要です。まずはこの問題の解き方をわかりやすく解説します。

問題の背景と問題文の理解

与えられた式、x = 3m + 5n、において、mとnは整数です。xが正の整数であるとき、どのようなmとnでもそのxを表すことができるわけではありません。この問題では、mとnが負でない整数であっても、xが表せない正の整数が存在するかを求めます。

この問題は、数論における「コイン問題」と呼ばれるものです。3と5のように互いに素な整数であれば、無限に多くの整数が3m + 5nの形で表されます。しかし、表せない最小の整数が存在します。この最小の整数が「不可表数」と呼ばれ、公式を使って求めることができます。

互いに素な2つの整数aとbについて、aとbを使って表せない最小の整数xは、x = ab – a – b で求められます。今回の場合、a = 3、b = 5なので、不可表数は3×5 – 3 – 5 = 7です。したがって、3m + 5nの形で表せない最小の正の整数は7となります。

3m + 5nの形で表せない正の整数は、7を最小とし、それ以外にも11、13、17、19などが続きます。これらはすべて3m + 5nの形では表すことができない整数です。

3と5という整数を使って、どんな正の整数でも表せるわけではなく、最小で7、さらにそれに続く整数が表せないことがわかります。この問題は数論における基本的な理解を深める良い例となります。