今回は、サイコロを使った問題に関連する「期待値」について解説します。問題の内容は、カードを選んで得点を得るというシンプルな設定ですが、カードに書かれた数が変わった時に期待値が二倍になる理由を理解することがポイントです。
1. 問題の概要
最初の質問は、0,1,2,4という数が書かれたカードを3回選ぶゲームで、選ばれなかったカードの和が得点となります。この場合、期待値は189/64となります。
次に、カードの数を0,2,4,8に変えると、期待値はどのように変わるかという疑問が生じます。期待値は二倍になるとのことですが、なぜそうなるのでしょうか？この現象を詳しく見ていきましょう。
2. 期待値の計算方法
まず、期待値とは確率論における平均値を指します。ある事象が起こる確率にその事象の結果を掛け合わせ、その和を取った値が期待値です。
この問題では、カードに書かれた数の和が得点となるため、各カードを選んだ場合の確率と、そのカードの数を掛け合わせて期待値を求めます。数が大きくなることで、そのカードが選ばれる確率や得られる得点も影響します。
3. 期待値が二倍になる理由
カードの数を0,1,2,4から0,2,4,8に変えると、それぞれのカードに書かれた数が2倍になります。カードの選ばれる確率が変わらない限り、得られる得点もそれに比例して変わります。
期待値は、カードの選ばれる確率にそのカードの数を掛け合わせたものの和です。カードの数が全て2倍になった場合、得点の和も2倍になるため、期待値が2倍になるのは自然な結果です。
4. 実際の計算のイメージ
0,1,2,4という数の場合、期待値の計算は、各カードが選ばれる確率にそのカードの数を掛けたものを全て足し合わせます。同じように0,2,4,8に変わった場合でも、計算式は同じですが、カードの数が2倍に増えるため、最終的な期待値も2倍となります。
5. まとめ
今回の問題では、カードに書かれた数が2倍になると、その結果として得られる期待値も2倍になるという理屈が成り立ちます。このように、確率や期待値の計算では、カードや事象の結果が変わると、期待値も比例して変化することを理解しておくことが大切です。
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