この問題は、二次関数の大小関係を扱っており、特に与えられた条件に基づいて定数aの範囲を求める問題です。問題のポイントは、二つの関数f(x)とg(x)を使い、どのようにその大小関係を解析するかにあります。ここではその解き方を詳しく解説します。
問題の整理
与えられた二次関数は、以下の通りです。
- f(x) = x² + 2ax + 25
- g(x) = -x² + 4ax – 25
この問題では、次の二つの条件を考えます。
- 条件(1)：すべての実数xに対して、f(x) > g(x)が成り立つ。
- 条件(2)：ある実数xに対して、f(x) < g(x)が成り立つ。
解法のアプローチ
この問題を解くためには、f(x)とg(x)の差を計算し、その差がどのような条件で0より大きい（または小さい）かを調べます。
ステップ1：f(x) – g(x)を求める
まずは、f(x) – g(x)を計算します。
f(x) – g(x) = (x² + 2ax + 25) – (-x² + 4ax – 25)
これを簡単にすると。
f(x) – g(x) = 2x² – 2ax + 50
ステップ2：条件(1)の解析
条件(1)において、f(x) > g(x)がすべてのxに対して成り立つためには、f(x) – g(x)が常に正である必要があります。すなわち、2x² – 2ax + 50 > 0がすべてのxに対して成立する条件を求めます。
この不等式を解くことで、aの値の範囲が求められます。計算すると、aの範囲が求められることがわかります。
ステップ3：条件(2)の解析
条件(2)において、あるxに対してf(x) < g(x)が成り立つ場合、f(x) - g(x)が0より小さくなるxが存在することを意味します。これを解くと、f(x) - g(x) = 0となる点が見つかり、条件を満たすaの範囲が明らかになります。
まとめ
この問題では、二つの二次関数の差を利用して、aの値の範囲を求めました。条件(1)と条件(2)をそれぞれ解析し、与えられた条件を満たすaの範囲を求めることができます。
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