袋から玉を取り出す確率の問題: 赤玉、白玉、黒玉を取り残す確率

この問題では、袋に入っている赤玉、白玉、黒玉の中から3人が順番に玉を1個ずつ取り出し、3色すべての色の玉が袋に残っている確率を求める問題です。具体的な計算方法を詳しく解説します。

1. 問題の概要と設定

袋の中には、赤玉4個、白玉3個、黒玉1個の合計8個の玉が入っています。A、B、Cの3人が順番に1個ずつ玉を取り出し、取った玉は戻しません。この時、3人が玉を取り出した後に袋の中に赤、白、黒の3色すべての玉が残っている確率を求めるのがこの問題です。

まず、袋に残る玉が3色すべてあるためには、3人の誰かが赤玉、誰かが白玉、誰かが黒玉を取らなければなりません。したがって、取り出した玉の色がかぶらないようにする確率を求めます。

袋から玉を取り出す順番と色の組み合わせを考えるために、順番に玉を引く場合の確率を計算します。1回目に赤玉が取られる確率は4/8、2回目に白玉が取られる確率は3/7、3回目に黒玉が取られる確率は1/6です。この確率を掛け算すると、最終的な確率が求められます。

1回目で赤玉を引く確率: 4/8
2回目で白玉を引く確率: 3/7
3回目で黒玉を引く確率: 1/6
したがって、この3つを掛け合わせた確率は、(4/8) * (3/7) * (1/6) = 1/14となります。

したがって、3人が玉を取り出した後に袋の中に3色すべての玉が残っている確率は1/14です。確率が1/14であることから、この状況はかなり稀なケースであることが分かります。