高校数学の問題で、三角形の辺や角度を求める際に余弦定理や正弦定理を活用することがよくあります。この問題では、△ABCの辺a、b、角Cが与えられ、辺c、角A、角Bを求めるというものです。ここでは、余弦定理と正弦定理を使って、求める方法を解説します。
余弦定理を使って辺cを求める
まず、余弦定理を使って辺cを求めます。余弦定理は次のように表されます。
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cosC
ここで、a = √2、b = √3 – 1、C = 135°ですので、これを代入して計算を行います。
c^2 = (√2)^2 + (√3 – 1)^2 – 2 * √2 * (√3 – 1) * cos135°
計算すると、c = 2 となります。このようにして、辺cを求めることができます。
正弦定理を使って角Aを求める
次に、正弦定理を使って角Aを求めます。正弦定理は以下の式で表されます。
a / sinA = c / sinC
この式を使って角Aを求めるには、すでに求めたcの値と与えられたa、Cの値を使います。
sinA = (a * sinC) / c
ここで、a = √2、C = 135°、c = 2を代入して計算します。C = 135°なので、sin135° = √2 / 2となります。
sinA = (√2 * √2 / 2) / 2 = 1/2
ここで、sinA = 1/2 となります。次に、この値が何度に対応するかを考えます。
sinA = 1/2が対応する角度の求め方
sinA = 1/2の値が対応する角度は、数学的には60°か120°です。ですが、△ABCの三角形において、角Aは135°より小さいため、角A = 30°であると確定できます。
このようにして、角Aを求めることができます。
角Bを求める方法
角Bは、三角形の内角の和が180°であることを利用して求めます。すでに角C = 135°と角A = 30°がわかっているので、角Bは次のように計算できます。
B = 180° - A - C = 180° - 30° - 135° = 15°
角B = 15°となります。
まとめ
この問題では、余弦定理と正弦定理を組み合わせて、三角形△ABCの辺c、角A、角Bを求めました。まず、余弦定理を使って辺c = 2を求め、その後、正弦定理を利用して角Aを求めました。角Aの値が1/2になることから、その角度が30°であると確認しました。そして、角Bは内角の和を使って求めました。このように、三角比や定理を使うことで、複雑な三角形の問題も解決することができます。
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