X + Y = 24 と XY = 48 の解が存在するか？

「X + Y = 24 と XY = 48」という方程式を解いてみると、果たして解は存在するのでしょうか？この問題を数学的に解説し、解法の過程を追いながらその存在について検証していきます。

1. 問題の確認

問題の式は次の2つです。

これらの式からXとYの値を求めることが目的となります。このような問題では、連立方程式を解く方法を用いて解決します。

まず、X + Y = 24 の式を使ってXまたはYを他の式に置き換えることができます。例えば、X = 24 – Y と表せます。この式をXY = 48 に代入すると、次のようになります。

(24 – Y)Y = 48

これを展開すると。

24Y – Y² = 48

次に、この式を整理して二次方程式の形にします。

Y² – 24Y + 48 = 0

次に、Y² – 24Y + 48 = 0 という二次方程式を解きます。二次方程式の解の公式を使うと。

Y = (-(-24) ± √((-24)² – 4×1×48)) / (2×1)

Y = (24 ± √(576 – 192)) / 2

Y = (24 ± √384) / 2

Y = (24 ± 19.5959) / 2

この結果から、Y の2つの解が得られます。

これらの値を元の式に代入すると、それぞれのYに対して対応するXの値が得られます。

まずY ≈ 21.798のとき、X = 24 – Y ≈ 24 – 21.798 ≈ 2.202となります。このとき、X × Y ≈ 2.202 × 21.798 ≈ 48が成り立っています。

次に、Y ≈ 2.201のとき、X = 24 – Y ≈ 24 – 2.201 ≈ 21.799となり、X × Y ≈ 21.799 × 2.201 ≈ 48も成り立っています。

「X + Y = 24 と XY = 48」の式は、実際に解が存在します。具体的には、X ≈ 21.799 と Y ≈ 2.201 または、X ≈ 2.202 と Y ≈ 21.798 という2組の解が求められます。したがって、質問に対して「解は存在する」と言えます。