関数y = a/xの変域の求め方｜xの変域からyの変域を求める方法

関数y = a/xにおいて、xの変域が与えられたときに、yの変域を求める方法を解説します。今回は、xの変域が2 < x < 8、yの変域が4/5 < y < bとされる問題について、aおよびbの値を求める方法を具体的に解説します。

関数y = a/xの特徴

関数y = a/xは、aが定数のとき、xの値が変わることでyの値が反比例的に変化する関数です。この関数の特徴は、xが大きくなるとyは小さくなり、xが小さくなるとyは大きくなる点です。

関数y = a/xでは、xが正の値であればyも正の値をとり、xが負の値であればyは負の値をとります。

まず、与えられた条件からyの変域を求めるためには、xの変域に対してyの値がどのように変動するかを調べる必要があります。xの最小値と最大値を使って、それぞれのyの値を計算します。

xが2のとき、yの値はy = a/2になります。xが8のとき、yの値はy = a/8になります。これでyの値がどの範囲に収まるかがわかります。

問題文において、yの変域は4/5 < y < bとされています。このことから、x = 2のとき、y = 4/5になることがわかります。このため、aを求めるために以下の式を使います。

4/5 = a/2

この式を解くと、a = 4/5 × 2 = 8/5です。

次に、yの変域の上限であるbを求めます。x = 8のとき、yの値はy = a/8となり、aの値が8/5であることを考慮すると、y = (8/5) / 8 = 1/5です。したがって、bは1/5より大きい値になります。

計算の結果、a = 8/5です。そして、xの変域2 < x < 8におけるyの最小値が1/5で、yの最大値bは、x = 2でのyの値である4/5となります。

関数y = a/xのyの変域を求めるためには、xの変域に基づいてyの値がどの範囲に収まるかを計算することが重要です。この問題では、a = 8/5、b = 4/5という結果が得られました。解法のポイントは、与えられた変域に基づいてyの最小値と最大値をしっかりと計算することです。