正の整数x, yが満たす式と最小のx + yの求め方

この問題では、次の式が満たされる正の整数xとyの最小のx + yの値を求める問題です。
(1/x) + (1/y) = (1/12) この問題の解法を詳しく説明します。

1. 問題の整理

まず、与えられた式を整理してみましょう。式は次のようになります。
(1/x) + (1/y) = 1/12
この式を解くためには、xとyの関係を求めることが重要です。

式を通分して、xとyの関係を求めます。まず、次のように式を変形します。

(x + y) / (xy) = 1/12

ここから、両辺を12xyで掛け合わせると、次の式が得られます。

12(x + y) = xy

これが解くべき方程式です。

次に、この式を解くためにxとyを満たす整数を求めます。まず、式を整理すると次のようになります。

xy – 12x – 12y = 0

この式をさらに変形すると、次のようになります。

(x – 12)(y – 12) = 144

ここで、144の約数を求めることで、xとyの整数解を求めることができます。

144の約数は次の通りです。

1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 36, 48, 72, 144

これらの約数を使って、(x – 12)と(y – 12)に対応する整数の組み合わせを求めます。最小のx + yを求めるために、xとyが正の整数となるように組み合わせを選びます。

例えば、(x – 12) = 8, (y – 12) = 18の場合、x = 20, y = 30となり、x + y = 50です。

このように、最小のx + yの値を求めると、x + y = 50となります。

この問題では、(1/x) + (1/y) = 1/12という式を解くために、まず式を変形し、144の約数を使って整数解を求めました。最小のx + yの値は50であることがわかりました。このように、整数方程式を解くためには、因数分解や約数を活用することが効果的です。