この問題は、正規分布を用いた統計学的な推定問題です。与えられた条件から、どのように最小のサンプルサイズnを計算するかを理解することが重要です。この記事では、推定誤差が0.5g以下となる確率が95%となるようなサンプルサイズnを求める手順を解説します。
1. 問題の整理
まず、問題文に含まれている情報を整理しましょう。製品の重さが平均n、分散25の正規分布N(n, 25)に従っているとされています。n個の製品の平均Xを求め、その重さの平均Xとnの差（推定誤差）が0.5g以下となる確率が95%になるような最小のnを求めます。
この問題では、推定誤差が0.5g以下である確率が95%という条件があるため、標準誤差を使った計算方法を適用します。
2. 推定誤差と標準誤差の関係
推定誤差は、サンプル平均Xと母平均nの差を示します。正規分布に従うサンプル平均Xの標準誤差（SE）は、次のように計算されます。
SE = σ / √n
ここで、σは母集団の標準偏差で、nはサンプルサイズです。問題文では、分散が25であるため、標準偏差σは√25 = 5となります。したがって、標準誤差SEは5 / √nです。
3. 標準正規分布を用いて計算する
問題文の「推定誤差が0.5g以下となる確率が95%」という条件を満たすために、標準正規分布を使用します。標準正規分布で、上側2.5%点と5%点がそれぞれ1.96、1.64であることが与えられています。95%の確率が0.5g以下の誤差であるため、標準誤差は次の不等式を満たす必要があります。
1.96 * SE ≤ 0.5
ここで、SE = 5 / √nですので、これを代入すると次の式になります。
1.96 * (5 / √n) ≤ 0.5
これを解くことで、最小のnを求めることができます。
4. 最小のnを求める
先程の式を解くと。
5 / √n ≤ 0.5 / 1.96
両辺を掛け算して解くと。
√n ≥ (5 * 1.96) / 0.5
計算すると。
√n ≥ 19.6
両辺を2乗してnを求めると。
n ≥ (19.6)² = 384.16
最小のnは384となります。
5. まとめ
この問題を解くためには、正規分布と標準誤差の概念をしっかりと理解し、標準正規分布を使って確率を求める方法を適用しました。最終的に、推定誤差が0.5g以下となる確率が95%になるためには、サンプルサイズnが384以上であることがわかりました。
このような統計的な推定方法は、データ解析や実験計画の場面で非常に役立つ技術です。正規分布や標準誤差を活用して、さまざまな推定問題を解決できるようになることが大切です。
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