y = x² + 1 と y = x + k の交点から求める中点の軌跡の導出方法

この問題では、2つの関数 y = x² + 1 と y = x + k の交点を結ぶ線分の中点の軌跡を求めるという内容です。まず、交点を求める方法から説明します。

1. 関数の交点を求める

まず、y = x² + 1 と y = x + k の交点を求めます。交点では y の値が等しいので、次の式が成り立ちます。

x² + 1 = x + k

これを整理すると、次のようになります。

x² – x + (1 – k) = 0

この式は二次方程式で、xの解を求めることで交点のx座標が得られます。

交点が2つのx座標を持つ場合、その中点のx座標は交点のx座標の平均値となります。もし交点のx座標を x₁, x₂ とした場合、次の式で中点のx座標 X は次のように求めます。

X = (x₁ + x₂) / 2

同様に、y座標も交点のy座標の平均値を求めることで中点のy座標 Y を得ることができます。

次に、a の値を変化させた場合の中点の座標を求めます。x座標 X と y座標 Y の関係を示す式を導き出すと、y座標 Y は次のように表されます。

Y = X + 3/4

このようにして、与えられた条件下で中点の軌跡を求めることができます。最終的に、Y = X + 3/4 の関係が成立することがわかりました。