京大実戦数学：極限の問題の解法と解説

「(1+(2/x)+(3/x^2))^(4x)のx→∞の極限を求めよ」という問題の解法について解説します。この問題に関して、画像のように解いたが文字で置いたa, bが実数にならないという質問をいただきました。この問題の正しい解法を確認し、採点ミスの可能性についても触れていきます。

問題の理解と式の整理

問題は、(1 + (2/x) + (3/x^2))^(4x)という式のx→∞の極限を求めるというものです。まず、この式を理解するために、xが無限大に近づくときの挙動を考える必要があります。

x→∞のとき、(2/x)と(3/x^2)の項はどちらもゼロに近づくため、式は(1 + 0 + 0)^(4x)となります。しかし、重要なのは「4x」という指数がついている部分です。このような形の式では、指数関数のような挙動が現れます。

この問題では、式を指数関数の形に変形することで、極限を求めることができます。具体的には、(1 + (2/x) + (3/x^2))をeの何かの形に近づける方法を取ります。すると、この問題はeの式に近似でき、その後極限を求めることが可能になります。

文字で置いたa, bが実数にならないことについてですが、この式の展開や変形の過程で、実数の範囲に収束しない場合があります。ただし、式の解法としては正しい方法を用いていますので、計算ミスではなく、問題の扱い方によるものです。

この問題の解法では、x→∞の極限を求める際に指数関数の特性を活用することが重要です。解法の過程で実数に収束しない部分が現れることがありますが、これは問題の性質に基づくものです。正確な解法を用いれば、問題の極限は無限大に収束することが分かります。