多項式の掛け算問題は、手順通りに展開する方法が一般的ですが、時には工夫が求められることもあります。このような問題での展開は地道に計算しても正確な結果を得ることができますが、より効率的な方法もあります。
問題の理解と展開の基本
与えられた問題は、(x^3 + x – 3)(x^2 – 2x + 2) という式です。このような多項式の掛け算を展開するためには、各項を掛け算し、それをすべて加算していくのが基本的な方法です。しかし、工夫をすれば計算をより効率的に進めることができます。
まず、掛け算の順番を適切に選び、可能な限り同じ種類の項をまとめることで、計算をシンプルにすることが重要です。
効率的に展開するための工夫
掛け算の順番を工夫する方法として、分配法則を利用して一度に計算する方法があります。例えば、x^3とx^2、x^3と-2x、x^3と+2を順番に掛け算するのではなく、より対称的に項を並べて計算を効率化します。
一つの工夫として、まず式を整理して「x^3 + x – 3」の各項を「x^2 – 2x + 2」と掛け算します。このとき、項の数が少ないので、項ごとに計算しやすい順番で進めることができます。
具体的な計算手順
この式の展開を実際に行うと、以下のように計算が進みます。
(x^3 + x – 3)(x^2 – 2x + 2) = x^3(x^2 – 2x + 2) + x(x^2 – 2x + 2) – 3(x^2 – 2x + 2)
ここから、それぞれの項を掛け算して、最終的にまとめます。
x^3(x^2 – 2x + 2) = x^5 – 2x^4 + 2x^3
x(x^2 – 2x + 2) = x^3 – 2x^2 + 2x
-3(x^2 – 2x + 2) = -3x^2 + 6x – 6
このようにして、全ての項を掛け算し、最後にまとめると。
x^5 – 2x^4 + 2x^3 + x^3 – 2x^2 + 2x – 3x^2 + 6x – 6
最終的な結果とまとめ
式をまとめると、次のようになります。
x^5 – 2x^4 + 3x^3 – 5x^2 + 8x – 6
これが、(x^3 + x – 3)(x^2 – 2x + 2) の展開結果です。式を効率よく展開するための工夫は、計算順を整理して、対称的に項をまとめることです。この方法で、無駄な計算を減らし、よりスムーズに結果に到達できます。
まとめ
多項式の掛け算問題では、通常通り分配法則を使って展開することができますが、工夫をすることで計算をより効率的に進めることが可能です。特に、式を整理して項を掛け算する順番を工夫することで、計算がスムーズに進みます。今回の問題では、最終的にx^5 – 2x^4 + 3x^3 – 5x^2 + 8x – 6 という結果を得ることができました。
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