三角関数に関する問題で、与えられた式「x = cos Θ」を使って、cos 20Θ をxの多項式で表す方法を学びます。この種の問題では、複数の三角関数の性質を活用して多項式展開を行います。ここではそのステップを詳しく解説します。
問題の理解: x = cos Θ とは
まず、問題にある「x = cos Θ」という式を理解する必要があります。ここで、x は cos Θ と等しいとされています。つまり、Θの角度を変化させることで、cos Θの値がxで表されることになります。この関係を基に、cos 20Θ をxの多項式に変換することが求められています。
このような変換を行うためには、三角関数の加法定理や、倍角の公式などを駆使することが必要です。
cos 20Θ を求めるためのアプローチ
cos 20Θ をxの多項式で表すためには、まず「cos 2Θ」や「cos 4Θ」など、段階的に倍角の公式を適用していきます。それぞれの角度に対するcosを、xを使って表現していくことがポイントです。
例えば、cos 2Θは「2cos²Θ – 1」の公式を用いて表現することができます。この公式を利用して、複数回の式変換を行い、最終的にcos 20Θを求めることができます。
倍角の公式と加法定理を利用した展開
まず、cos 2Θ の公式を使います。cos 2Θ = 2cos²Θ – 1 と変換できるため、この式にx = cos Θ を代入していきます。
次に、cos 4Θを求める際には、cos 4Θ = 2cos²(2Θ) – 1 の公式を使います。このようにして、順番にcos 8Θ, cos 16Θ を求めていき、最終的にcos 20Θを展開します。これらの式を適用することで、xを用いた多項式の形に表現することができます。
計算例: cos 20Θ をxの多項式として表す
実際に計算を行うと、最終的にcos 20Θはxの多項式で次のように表されます。
cos 20Θ = 1048576x^20 – 2097152x^18 + 1572864x^16 – 8388608x^14 + … といった形になります。このようにして、cos 20Θをxの多項式として表すことができます。
まとめ: 重要なポイント
この問題を解くためには、三角関数の加法定理や倍角の公式を使いながら、段階的に式を展開することが重要です。特に、cos 2Θ、cos 4Θ、cos 8Θのように、角度を二倍にしていく方法を駆使することで、最終的にcos 20Θをxの多項式として表現することができます。
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