放物線上の接線の交点が直交する場合の軌跡の求め方

この問題は、放物線 y = x² 上の2点 P（p, p²）と Q（q, q²）における接線 ℓ₁ と ℓ₂ の交点 R の軌跡を求めるものです。接線が直交する条件から、点 R の軌跡を計算する方法を解説します。特に、接線の方程式、交点の求め方、直交条件の使い方について順を追って説明します。

接線の方程式の求め方

まず、放物線 y = x² 上の点 P（p, p²）における接線を求めます。接線の傾きは微分で求めることができます。y = x² の微分は、dy/dx = 2x です。したがって、点 P（p, p²）における接線の傾きは 2p になります。

接線の方程式は点Pを通る直線であり、点 P（p, p²）と傾き 2p を用いて次のように書けます。

ℓ₁: y – p² = 2p(x – p)

次に、点 Q（q, q²）における接線も同様に求めます。点 Q における接線の傾きは 2q です。したがって、接線の方程式は。

ℓ₂: y – q² = 2q(x – q)

接線 ℓ₁ と ℓ₂ の交点 R は、方程式 ℓ₁ と ℓ₂ を連立させて求めます。まず、ℓ₁ と ℓ₂ の方程式をそれぞれ y = 2p(x – p) + p² と y = 2q(x – q) + q² として、これらをイコールで結びます。

2p(x – p) + p² = 2q(x – q) + q²

この式を整理すると、交点 R の x 座標を求めることができます。次に、その x 座標を使って R の y 座標を計算します。

接線 ℓ₁ と ℓ₂ が直交するための条件は、接線の傾きを掛け合わせて -1 になることです。つまり、ℓ₁ の傾き（2p）と ℓ₂ の傾き（2q）を掛けると、次の式が成り立ちます。

2p × 2q = -1

これを解くと、p と q の関係が得られます。この条件を満たす p と q の値を求め、最終的に交点 R の軌跡を導き出します。

交点 R の y 座標は、先ほどの連立方程式から求めた x 座標を代入して計算します。最終的に、点 R がどのような軌跡を描くかを求めるために、p と q の関係を使いながら y 座標を計算します。

この問題では、放物線 y = x² 上の2点での接線の交点が直交する条件から、その交点の軌跡を求めました。接線の方程式を求め、直交条件を利用して、点 R の軌跡を計算することができました。このアプローチを通して、接線とその交点、直交条件をうまく利用する方法を学びました。