2次方程式の解がcosθとtanθの場合のaの値の求め方

0<θ<π/2の範囲で、2次方程式15x²＋ax＋12=0の2つの解がcosθとtanθであるとき、このときのaの値を求める問題について解説します。ここでは、2次方程式の解の関係を利用して、aの値をどのように求めるかを詳しく説明します。

問題の理解

与えられた方程式は15x² + ax + 12 = 0であり、この方程式の解がcosθとtanθであることが条件です。θは0 < θ < π/2の範囲にあります。

ここで、2次方程式の解と係数の関係を考えるために、解と係数の関係式を使います。解がαとβであるとき、以下のような関係が成り立ちます。

問題の条件によると、解はcosθとtanθであるため、次の式が成り立ちます。

ここで、cosθ × tanθの式を使うと、次のように展開できます。

cosθ × tanθ = sinθ / cosθ × cosθ = sinθ となり、sinθ = 4 / 5です。

sinθ = 4 / 5が分かったので、単位円を使ってcosθとtanθを求めます。単位円の定義から、sin²θ + cos²θ = 1となるため、cosθは次のように求められます。

cos²θ = 1 – sin²θ = 1 – (4 / 5)² = 1 – 16 / 25 = 9 / 25

したがって、cosθ = 3 / 5です。

次に、tanθ = sinθ / cosθ = (4 / 5) / (3 / 5) = 4 / 3です。

cosθ + tanθ = -a / 15の式にcosθ = 3 / 5とtanθ = 4 / 3を代入します。

(3 / 5) + (4 / 3) = -a / 15

分母を揃えて計算すると、(9 / 15) + (20 / 15) = -a / 15となり、29 / 15 = -a / 15です。

したがって、a = -29です。

2次方程式15x² + ax + 12 = 0の解がcosθとtanθであるとき、aの値は-29であることが分かりました。このように、解の合計と積を利用して係数aを求める方法を使うと、θに関する情報から係数を求めることができます。