連立微分方程式の解法：x” + x’ + x + y” + y = e^2t, x’ + x + y’ = 1

連立微分方程式を解く際、特に次の式を解く方法を紹介します：
x” + x’ + x + y” + y = e^2t
x’ + x + y’ = 1

問題の整理

与えられた連立微分方程式は次の通りです。

• x” + x’ + x + y” + y = e^2t
• x’ + x + y’ = 1

ここで、x(t)とy(t)はtの関数であり、x’はxの1階微分、x”はxの2階微分を意味します。問題を解くために、まずyをxの関数として表現し、代入していきます。

ステップ1: yをxの関数として表現

まず、2つ目の式x’ + x + y’ = 1からyをxの関数として表現します。

y’ = 1 – x’ – xとなり、y = ∫(1 – x’ – x) dtという式が得られます。このyを1つ目の式に代入します。

ステップ2: 代入して連立方程式を解く

y = ∫(1 – x’ – x) dtをx” + x’ + x + y” + y = e^2tに代入します。yとy’の項を微分して代入することで、xに関する2階微分方程式が得られます。この方程式を解くことで、x(t)とy(t)の関数が求まります。

ステップ3: 微分方程式の解法

得られた2階微分方程式を解くためには、まず同次方程式を解き、その後に特解を求めます。右辺がe^2tであることを考慮して、特解はe^2tの形を仮定します。

同次方程式の解と特解を合わせることで、最終的なx(t)とy(t)を求めることができます。

まとめ

連立微分方程式を解く方法として、まずyをxの関数として表現し、それを連立方程式に代入して解を求める方法が有効です。このアプローチにより、微分方程式を解くことができます。具体的な解法の手順を踏むことで、x(t)とy(t)の関数が求まります。