年末特別問題2025編: g(n) の因数分解と合成数の証明

2025という数が「45²」に注目される理由に関連した数学の問題に挑戦します。問題では、g(n) = (n + 45)² + (n + 45)という式の因数分解を行い、その結果からすべての整数nに対してg(n)が合成数であることを示すことを求められています。さらに、g(n)が0になる整数nを求める問題も解説します。

1. g(n) の因数分解

まずは、g(n) = (n + 45)² + (n + 45) の因数分解を行います。この式を簡単にするために共通因数 (n + 45) をくくり出します。

g(n) = (n + 45)² + (n + 45) = (n + 45) [(n + 45) + 1] = (n + 45) (n + 46)

このように因数分解できます。g(n)は (n + 45)(n + 46) という形になります。

2. g(n) が合成数であることの証明

次に、すべての整数nに対してg(n)が合成数であることを示す必要があります。g(n) = (n + 45)(n + 46) であり、この式は常に2つの異なる整数の積として表されます。

合成数とは、1とその数以外にも約数を持つ整数のことです。n + 45 と n + 46 は隣接した整数であり、どちらも1とその数以外に約数を持つため、g(n)は必ず合成数になります。

3. g(n) が 0 になる整数 n を求める

g(n)が0になる場合は、(n + 45)(n + 46) = 0 となります。この式を満たすnを求めます。

(n + 45)(n + 46) = 0

この式が成り立つためには、n + 45 = 0 または n + 46 = 0 でなければなりません。

したがって、n = -45 または n = -46 の場合にg(n)が0となります。

まとめ

この問題を通じて、g(n) = (n + 45)² + (n + 45) の因数分解を行い、g(n)が常に合成数であることを証明しました。また、g(n)が0になる整数nはn = -45とn = -46であることもわかりました。このように因数分解と数の性質を活用することで、数学の問題を効率的に解くことができます。