この問題では、整数の範囲内でpの倍数の個数を求める方法を解説します。与えられた式では、pとqは素数、mとnは正の整数で、pの倍数がいくつあるかを計算します。特に、なぜpで割るとpの倍数の個数が求められるのかを説明します。
1. 問題の確認と式の理解
問題文では、1からp^m × q^n までの整数のうち、pの倍数の個数を求める問題です。与えられた答えとして、「p^m × q^n ÷ p = p^m – 1 × q^n」と示されています。これがどうして成り立つのか、順を追って説明します。
2. pの倍数の個数の計算方法
まず、1から p^m × q^n までの整数を考えたとき、この範囲に含まれるpの倍数は、p, 2p, 3p, … , p^m × q^n という形で表せます。この時、pの倍数の個数は、p^m × q^n ÷ p で求めることができます。なぜなら、pの倍数はpで割ると1, 2, 3, … と数えられるからです。
3. なぜpで割るとpの倍数がわかるのか
pで割る理由は、整数の範囲内でpの倍数がどれだけあるかを数えるためです。pで割ることで、範囲内にあるpの倍数の個数がそのまま得られます。例えば、1からp^m × q^nまでの範囲におけるpの倍数は、p, 2p, 3p, … というように、pで割ってその個数を数えることができます。
4. pの倍数を求める例
例えば、p = 2、q = 3、m = 3、n = 2 の場合を考えます。このとき、p^m × q^n は 2^3 × 3^2 = 8 × 9 = 72 です。1から72までの整数のうち、2の倍数は、2, 4, 6, … , 72 であり、その個数は72 ÷ 2 = 36個です。このようにして、pの倍数の個数が求められます。
5. まとめ
この問題では、整数の範囲内でpの倍数の個数を求める方法を説明しました。pで割ることで、pの倍数の個数を簡単に計算できる理由についても理解していただけたかと思います。基本的な考え方としては、範囲内におけるpの倍数を数えるためには、pで割るという操作が重要です。
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