オイラー関数の乗法性の証明：互いに素な整数の格子点を使った解法

オイラー関数は数論における重要な関数であり、その乗法性が多くの理論に応用されています。この記事では、オイラー関数が乗法的であることを証明するための方法を詳しく解説します。特に、nとmが互いに素なときに、原点から(n, m)までの格子点の個数に関連する証明に焦点を当てます。

オイラー関数とは？

オイラー関数φ(n)は、n以下の自然数の中でnと互いに素な数の個数を表す関数です。つまり、φ(n)は、1からnまでの整数のうち、nと最大公約数が1である数の個数を示します。

例えば、φ(9)は9と互いに素な数、すなわち1, 2, 4, 5, 7, 8の6個があるので、φ(9) = 6です。このように、オイラー関数は数論において非常に重要な役割を果たします。

オイラー関数が乗法的であるとは、nとmが互いに素であるとき、次の等式が成り立つことを意味します。

φ(nm) = φ(n) × φ(m)

この証明では、原点(1, 1)から(n, m)で構成される四角形の格子点の個数を考え、nとmが互いに素である場合のオイラー関数の乗法性を示します。

nとmが互いに素な整数である場合、1からnmまでの数のうち、nとmと両方の数に対して互いに素な数の個数を求めます。これを格子点の個数として捉え、数のあまりがnで割ったあまりとmで割ったあまりに対応すると考えます。

この場合、1からnmまでの違う自然数は、nとmと両方に対して互いに素な数となります。このことから、φ(nm)がφ(n) × φ(m)に一致することを示すことができます。

まず、仮定として、違う自然数a, bが両方同じあまりになると仮定します。大きい方をa、小さい方をbとし、a – bがnmで割り切れるとします。このとき、a – bがnmで割り切れることから、1からnmまでの違う数の差がnmで割り切れないことがわかります。

これにより、1からnmまでにあるnとmと互いに素な数の個数は、縦方向にφ(n)個、横方向にφ(m)個の格子点が存在し、最終的にφ(nm) = φ(n) × φ(m)が成り立ちます。

オイラー関数が乗法的であるという性質は、数論における多くの理論や応用において非常に重要です。この乗法性を利用することで、より複雑な数論的問題を解く際に有効な道具として機能します。

例えば、素数の分布や整数の因数分解に関連する問題を解く際に、オイラー関数の乗法性は非常に有用です。また、暗号理論や整数論の多くの分野で、この性質を利用した手法が使われています。

オイラー関数が乗法的であることは、nとmが互いに素であるときにφ(nm) = φ(n) × φ(m)という関係が成り立つことを意味します。この証明は、原点から(n, m)で構成される格子点の個数を考えることで直感的に理解することができます。

オイラー関数の乗法性は数論における重要な結果であり、数論的な問題を解くための強力なツールとなります。この理論をしっかりと理解することで、より高度な数学的な問題に取り組むための基盤が得られるでしょう。