「√(x²) = x」という式について、計算自体はシンプルですが、実際にこの式が常に成り立つのかという点について考えると、少し疑問が湧いてきます。ここでは、この式の意味を直感的に、また数学の定義に基づいて説明します。中学生でもわかりやすいように解説しますので、ぜひ参考にしてください。
1. 直感的な説明
まず、直感的に「√(x²) = x」という式を考えてみましょう。例えば、x = 3 の場合、x² = 9 となり、その平方根である√(x²) = √9 = 3 となります。この場合は式は成り立ちます。では、x = -3 の場合を考えてみましょう。x² = (-3)² = 9 となり、√(x²) = √9 = 3 ですが、この場合でも式は 3 となり、x = -3 とは一致しません。
これが直感的に「√(x²) = x ではなく、常に正の値になる」という理由です。式における平方根は、非負の数を返すため、x が負の数であっても結果は常に正の値となります。
2. 数学的な定義による説明
数学的には、√(x²) の結果は常に x の絶対値であると定義されています。すなわち、√(x²) = |x| となり、この式は常に x の絶対値を返します。したがって、x が負の数の場合、√(x²) は x ではなく、その絶対値となります。
例えば、x = -3 の場合、√((-3)²) = √9 = 3 です。つまり、平方根は常に非負の値を取るため、x = -3 の場合には、√(x²) = 3 となり、x とは一致しません。
3. √(x²) の結果と絶対値の関係
このように、√(x²) は x そのものではなく、x の絶対値であることを理解することが重要です。数学の定義に従うと、√(x²) = |x| という関係が成り立ちます。この点を理解することで、「√(x²) = x」という式が一般には成立しない理由がわかります。
式が成り立つのは、x が非負の値、つまり x >= 0 のときに限られます。
4. まとめ
「√(x²) = x」という式は一見シンプルですが、実際には x の符号によって成り立たないことがあります。数学的には、√(x²) は x の絶対値 |x| であり、x が負の数である場合、この式は成立しません。したがって、この式を使用する際には、x の符号に注意が必要です。
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