この問題では、n個の箱に対して、それぞれの箱に1～nの自然数が書かれた玉が2個ずつ入っている状況で、特定の条件に基づく確率を求める問題です。具体的には、1の書かれた玉と2の書かれた玉が同じ箱に入らない確率と、同じ番号の書かれた玉が同じ箱に入らない確率を求めることになります。本記事では、これらの問題をどのように解くかを解説します。
1. 確率問題の理解
まず、問題の状況を整理しましょう。n個の箱に対して、それぞれの箱に1からnまでの自然数が書かれた玉が2個ずつ入っています。これらの玉を箱に振り分ける方法を考え、その中で特定の条件が満たされる確率を求めます。
これらの確率を求めるためには、全体の組み合わせ数と、条件が満たされる場合の組み合わせ数を求め、それらを使って確率を計算します。
2. (1) 1の書かれた玉と2の書かれた玉が同じ箱に入らない確率
この場合、まず1の書かれた玉と2の書かれた玉が同じ箱に入らない条件を考えます。n個の箱に玉を入れる場合、全体の組み合わせ数は、2n個の玉をn個の箱に入れる場合の組み合わせ数です。これに対して、1の玉と2の玉が同じ箱に入らない場合を考えます。
1の玉と2の玉が同じ箱に入らないためには、2つの玉がそれぞれ異なる箱に入るように組み合わせる必要があります。これにより、確率を計算できます。
3. (2) 同じ番号の書かれた玉が同じ箱に入らない確率
次に、同じ番号の書かれた玉が同じ箱に入らない確率を求めます。この場合、同じ番号の玉が同じ箱に入らないためには、各番号の玉が異なる箱に入るように配置しなければなりません。この条件を満たす場合の組み合わせ数を求め、その確率を計算します。
確率は、全体の組み合わせ数と条件を満たす組み合わせ数の比率として求められます。具体的な計算手順についても、次のセクションで詳しく解説します。
4. 確率の計算方法
確率を求めるためには、まず全体の組み合わせ数を求める必要があります。全体の組み合わせ数は、2n個の玉をn個の箱に入れる場合の方法数です。この場合、組み合わせ数は、2n個の玉の中からn個を選んで箱に入れる方法を計算することに相当します。
次に、条件を満たす組み合わせ数を求めます。この場合、1の書かれた玉と2の書かれた玉が異なる箱に入る場合や、同じ番号の玉が異なる箱に入る場合について、組み合わせ数を計算します。
5. まとめ
確率問題においては、全体の組み合わせ数と条件を満たす組み合わせ数を比較することで、確率を計算することができます。1の書かれた玉と2の書かれた玉が同じ箱に入らない確率や、同じ番号の書かれた玉が同じ箱に入らない確率を求める際には、それぞれの組み合わせ数を求めて確率を算出します。
これらの計算方法をしっかりと理解することで、確率問題を解く力が身に付きます。数学の確率問題は、解法の過程をしっかりと理解し、確実に計算できるようになることが重要です。
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